等差数列

一、等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做 等差数列，这个常数称为等差数列的 公差，用字母 $d$ 表示。

等差数列的英语是 Arithmetic Progression，通常缩写为 A.P.。

---

二、通项公式

1. 基本形式
   设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$，则第 $n$ 项 $a_n$ 的通项公式为： $a_n = a_1 + (n-1)d$

   • 推导思路：从首项开始，每一项比前一项多一个公差 $d$，第 $n$ 项相比首项增加了 $(n-1)$ 个公差。

2. 拓展形式
   已知数列中第 $m$ 项 $a_m$，则第 $n$ 项可表示为： $a_n = a_m + (n-m)d$

---

三、求和公式

1. 等差数列前 $n$ 项和公式（高斯公式）
   设等差数列前 $n$ 项和为 $S_n$，则： $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

   • 推导原理：首项 $a_1$ 与末项 $a_n$ 的平均数乘以项数 $n$，类似于“梯形面积公式”（首项和末项为上下底，项数为高）。

2. 用首项和公差表示的求和公式
   将通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 代入前一公式，可得： $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

---

四、公式应用示例

• 例1：通项公式应用
  已知等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 3$，$d = 2$，求第10项 $a_{10}$。
  解：$a_{10} = 3 + (10-1) \times 2 = 21$。

• 例2：求和公式应用
  求等差数列 $1, 3, 5, 7, \dots, 99$ 的前50项和。
  解：首项 $a_1 = 1$，公差 $d = 2$，第50项 $a_{50} = 1 + 49 \times 2 = 99$，
  则 $S_{50} = \frac{50 \times (1 + 99)}{2} = 2500$。

---

视频：https://www.bilibili.com/video/BV1KN4y1e7S5