等比数列

一、等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做 等比数列，这个常数称为等比数列的 公比，用字母 $q$ 表示（$q \neq 0$）。

等比数列的英文是：Geometric Sequence 或 Geometric Progression（缩写为 GP）。

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二、通项公式

1. 基本形式
   设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，则第 $n$ 项 $a_n$ 的通项公式为：
   $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

   • 推导思路：从首项开始，每一项是前一项乘以公比 $q$，第 $n$ 项相比首项乘了 $(n-1)$ 次 $q$。

2. 拓展形式
   已知数列中第 $m$ 项 $a_m$，则第 $n$ 项可表示为：
   $a_n = a_m \cdot q^{n-m}$

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三、求和公式

1. 等比数列前 $n$ 项和公式
   设等比数列前 $n$ 项和为 $S_n$，则：

   $$S_n = \begin{cases} na_1, & \text{当 } q = 1 \\ \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & \text{当 } q \neq 1 \end{cases}$$
   • 推导原理：错位相减法。当 $q \neq 1$ 时，将 $S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{n-1}$ 两边同乘 $q$，再与原式相减可得。

2. 无穷等比数列的和（当 $|q| < 1$ 时）
   当 $n \to \infty$ 且 $|q| < 1$ 时，前 $n$ 项和趋近于一个常数，称为无穷等比数列的和：

   $$S = \frac{a_1}{1 - q}$$

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四、公式应用示例

• 例1：通项公式应用
  已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 2$，$q = 3$，求第5项 $a_5$。
  解：$a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162$。

• 例2：求和公式应用
  求等比数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ 的前10项和。
  解：首项 $a_1 = 1$，公比 $q = \frac{1}{2}$，则

  $$S_{10} = \frac{1 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{512}$$

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五、核心性质补充

1. 若 $m + n = p + q$（$m, n, p, q$ 为正整数），则 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$。
2. 等比中项：若 $a, b, c$ 成等比数列，则 $b^2 = ac$，$b$ 称为 $a$ 和 $c$ 的等比中项。

通过通项公式和求和公式，可快速解决等比数列的项数、公比、首项、末项及求和问题，其本质是利用等比数列的规律性简化计算。

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